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摘要：粒度計(jì)算是新近興起的人工智能研究領(lǐng)域的一個方向，本文簡單介紹粒度計(jì)算的主要三個方法，以及之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：粒度計(jì)算、模糊邏輯、商空間理論、粗糙集理論。

一．引言

人們在思考問題時，或者是先從總體進(jìn)行觀察，然后再逐步深入地研究各個部分的情況；或先從各個方面對同一問題進(jìn)行不同側(cè)面的了解，然后對它們進(jìn)行綜合；或是上面兩種方法的組合，即時而從各側(cè)面對事物進(jìn)行了解，然后進(jìn)行綜合觀察，時而綜合觀察后，對不甚了解的部分再進(jìn)行觀察……總之，根據(jù)需要從不同側(cè)面、不同角度反復(fù)對事物進(jìn)行了解、分析、綜合、推理.最后得出事物本質(zhì)的性質(zhì)和結(jié)論.

人工智能研究者對人類這種能力進(jìn)行了深入地研究，并建立了各種形式化的模型.本文要介紹的粒度計(jì)算,就是對上述問題的研究的一個方面.

人工智能最主要的目的是，為人類的某些智能行為建立適當(dāng)?shù)男问交Ｐ?，以便利用?jì)算機(jī)能再顯人的智能的部分功能。什么是人類的最主要的智能，或者說智能的最重要表現(xiàn)形式是什么。各家有不同的看法，如Simon等認(rèn)為人的智能表現(xiàn)為，對問題求解目標(biāo)的搜索（Search）能力。比如學(xué)生在證明一道平面幾何題目時，進(jìn)行思考，“聰明的小孩”能很快地找到證明該結(jié)論的有關(guān)的定理性質(zhì)，并很快地應(yīng)用上去，從而就得到證明?！皵?shù)學(xué)能力差的學(xué)笨贍芏椅餮?，找矇哪z鮮實(shí)畝ɡ硨托災(zāi)?，仍u慈迫ィ艿貌壞街っ韉囊歟籔awlak[P1]則認(rèn)為人的智能表現(xiàn)為對事物（事件、行為、感知等）的分類（Classification）能力。如平時我們說某醫(yī)生本事大，就是這位醫(yī)生能從病人的癥狀中，正確地診斷出病人是患什么病（分類能力！分出患什么病來）等等。我們認(rèn)為“人類智能的公認(rèn)特點(diǎn)，就是人們能從極不相同的粒度(Granularity)上觀察和分析同一問題。人們不僅能在不同粒度的世界上進(jìn)行問題求解，而且能夠很快地從一個粒度世界跳到另一個粒度的世界，往返自如，毫無困難。這種處理不同世界的能力，正是人類問題求解的強(qiáng)有力的表現(xiàn)”[ZH1]。還有很多不同的理解，人們正是從這些不同的理解分別建立各自的模型和相關(guān)的理論和方法。

粒度計(jì)算目前國際上有三個主要的模型和方法，下面簡單進(jìn)行介紹。

二.三種不同的模型

下面簡單介紹有關(guān)“粒度計(jì)算”的三個不同的模型和方法。

什么是粒度，顧名思義，就是取不同大小的對象。也就是說，將原來“粗粒度”的大對象分割為若干“細(xì)粒度”的小對象，或者把若干小對象合并成一個大的粗粒度對象，進(jìn)行研究。

最近Zadeh在[ZA1]-[ZA3]中,討論模糊信息粒度理論時，提出人類認(rèn)知的三個主要概念，即粒度(granulation)、組織(organization)、因果(causation)(粒度包括將全體分解為部分，組織包括從部分集成為全體，因果包括因果的關(guān)聯(lián)）。并進(jìn)一步提出粒度計(jì)算。他認(rèn)為，粒度計(jì)算是一把大傘它覆蓋了所有有關(guān)粒度的理論、方法論、技術(shù)和工具的研究。指出：“粗略地說，粒度計(jì)算是模糊信息粒度理論的超集，而粗糙集理論和區(qū)間計(jì)算是粒度數(shù)學(xué)的子集”。

Zadeh的工作激起了學(xué)術(shù)界對粒度計(jì)算研究的興趣，Y.Y.Yao和他的合作者對粒度計(jì)算進(jìn)行了一系列的研究[Y1]-[Y3]并將它應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域，其工作的要點(diǎn)是用決策邏輯語言(DL-語言)來描述集合的粒度(用滿足公式f元素的集合，來定義等價類m(f))，建立概念之間的IF-THEN關(guān)系與粒度集合之間的包含關(guān)系的聯(lián)系，并提出利用由所有劃分構(gòu)成的格，來求解一致分類問題。這些研究為知識挖掘提供了一些新的方法和角度。

按Zadeh粒度計(jì)算的定義,我們提出的商空間理論和Pawlak的粗糙集理論都屬于“粒度計(jì)算”范疇。

目前有關(guān)粒度計(jì)算的理論與方法，主要有三個。一是Zadeh的“詞計(jì)算理論”（TheoryofWorksComputing），一是Pawlak的“粗糙集理論”（TheoryofRoughSet），另一個是我們提出的“商空間理論”（TheoryofQuotientSpace）。

下面簡單介紹三者的內(nèi)容：

1.詞計(jì)算理論：

Zadeh認(rèn)為人類在進(jìn)行思考、判斷、推理時主要是用語言進(jìn)行的，而語言是一個很粗的“粒度”，如我們說“九寨溝的風(fēng)景很美”，其中“很美”這個詞就比較“龐統(tǒng)”，也就是說其粒度很粗，如何利用語言進(jìn)行推理判斷，這就是要進(jìn)行“詞計(jì)算”，早在二十世紀(jì)六十年代Zadeh提出模糊集理論，就是“詞計(jì)算”的雛型。沿Zadeh的模糊集論的方向，用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行有關(guān)粒度計(jì)算的方法和理論的研究，就構(gòu)成“粒度計(jì)算”的一個非常重要的方法和方向。這也是人們比較熟悉的一個方法。

2.粗糙集理論：

波蘭學(xué)者Pawlak[P1]在二十世紀(jì)八十年代，提出的粗糙集理論，他提出一個假設(shè)：人的智能(知識)就是一種分類的能力，這個假設(shè)可能不是很完備，但卻非常精練。在此基礎(chǔ)上提出，概念可以用論域中的子集來表示，于是在論域中給定一組子集族，或說給定一個劃分（所謂劃分，是指將X分成兩兩不相交的子集之并）。從數(shù)學(xué)上知道，給定X上的一個劃分，等價于在X上給定一個等價關(guān)系R。Pawlak稱之為在論域上給定了一個知識基(X,R)。然后討論一個一般的概念x（X中的一個子集），如何用知識基中的知識來表示，就是用知識基中的集合的并來表示。對那些無法用(X,R)中的集合的并來表示的集合,他借用拓?fù)渲械膬?nèi)核和閉包的概念,引入R-下近似R-(x)（相當(dāng)于x的內(nèi)核）和R-上近似R-(x)（相當(dāng)于x的閉包），當(dāng)R-(x)¹R-(x)時,就稱x為粗糙集.從而創(chuàng)立了“粗糙集理論”。目前粗糙集理論已被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，特別是數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域，并獲得成功。

3.基于商空間的粒度計(jì)算.

我們認(rèn)為概念可以用子集來表示,不同粒度的概念就體現(xiàn)為不同粒度的子集,一簇概念就構(gòu)成空間的一個劃分----商空間(知識基),不同的概念簇就構(gòu)成不同的商空間.故粒度計(jì)算,就是研究在給定知識基上的各種子集合之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)換.以及對同一問題,取不同的適當(dāng)?shù)牧６?從對不同的粒度的研究中,綜合獲取對原問題的了解.這種對粒度的理解與模糊集對粒度的理解不完全一樣.

下面簡單介紹基于商空間的粒度計(jì)算。

3.1商空間模型下的推理模型

商空間的模型用一個三元組來表示，即(X,F,T),其中X是論域,F是屬性集,T是X上的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).當(dāng)我們?nèi)〈至６葧r,即給定一個等價關(guān)系R(或說一個劃分),于是我們說得到一個對應(yīng)于R的商集記為[X],它對應(yīng)于的三元組為([X],[F],[T]),稱之為對應(yīng)于R的商空間.商空間理論就是研究各商空間之間的關(guān)系、各商空間的合成、綜合、分解和在商空間中的推理。

在這個模型下,可建立對應(yīng)的推理模型,并有如下的性質(zhì).

A.商空間模型中推理的“保假原理”（或“無解保持原理”）.

B.商空間模型中推理合成的“保真原理”.

所謂“保假原理”是指若一命題在粗粒度空間中是假的，則該命題在比它細(xì)的商空間中一定也無解。

所謂“保真原理”，是指，若命題在兩個較粗粒度的商空間中是真的，則（在一定條件下），在其合成的商空間中對應(yīng)的問題也是真的。

這兩個原理在商空間模型的推理中起到很重要的作用，如若我們要對一個問題進(jìn)行求解，當(dāng)問題十分復(fù)雜時，常先進(jìn)行初步分析，即取一個較粗粒度商空間，將問題化成在該空間上的對應(yīng)的問題，然后進(jìn)行求解，若得出該問題在粗粒度空間中是無解，則由“保假原理”，立即得原問題是無解的。因?yàn)榇至６鹊目臻g規(guī)模小，故計(jì)算量也少，這樣我們就可以以很少的計(jì)算量得出所要的結(jié)果，達(dá)到“事半功倍”的目的。

同樣利用“保真原理”也可達(dá)到降低求解的復(fù)雜性目的，設(shè)在兩個較粗空間X1、X2上進(jìn)行求解,得出對應(yīng)的問題有解.利用“保真原理”可得，在其合成的空間X3上問題也有解。設(shè)X1、X2的規(guī)模分別為s1、s2。因?yàn)橐话闱闆r下，X3的規(guī)模最大可達(dá)到s1s2。于是將原來要求解規(guī)模為s1s2空間中的問題，化成求解規(guī)模分別為s1、s2的兩個空間中的問題。即將復(fù)雜性從“相乘”降為“相加”。

四．商空間理論、粗糙集理論和模糊集理論之間的關(guān)系

4.1在模型上

三者都是描述人類能按不同粒度來處理事物的能力的模型.

商空間理論、粗糙集理論認(rèn)為概念可以用子集來表示，不同粒度的概念可以用不同大小的子集來表示，所有這些表示可以用等價關(guān)系來描述。

詞計(jì)算理論認(rèn)為概念是用“詞”來表示，而描述“詞”的有效的方法就是模糊集理論。4.2.研究的對象

商空間理論、粗糙集理論、詞計(jì)算理論都將所討論的對象的集合構(gòu)成論域，但討論對象之間的關(guān)系時，卻各有不同。

粗糙集理論的原型估計(jì)是由關(guān)系數(shù)據(jù)庫抽象而得的，故其模型為(X,F)(其中X是論域,F是屬性集),即通過元素的不同屬性值，來描述元素之間的關(guān)系,并用元素按不同屬性進(jìn)行的分類來表示不同的概念粒度。

商空間理論的原型是分層遞階方法，故其模型為(X,F,T)(其中X是論域,F是屬性集,T是X上的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu))即除了元素的屬性外，還引入元素之間的關(guān)系T（用拓?fù)鋪砻枋觯瑥倪@個意義上來說,粗糙集理論是商空間理論的一個簡單的特例。當(dāng)然各自研究的著重點(diǎn)和側(cè)重點(diǎn)不同。

當(dāng)給定一個等價關(guān)系時，粗糙集理論認(rèn)為是給定一個知識基，然后討論任給的一個概念（集合）在這個知識基上如何被表示為知識基上集合之并,以及之間的關(guān)系。粗糙集理論主要利用集合的基數(shù)(元素個數(shù))之間的關(guān)系,來描述概念之間的隸屬關(guān)系，這樣在一定程度上與模糊集概念聯(lián)系起來。另外，粗糙集理論還討論如何利用屬性來最簡單地表示所對應(yīng)的知識基，這就是所謂“簡約”問題。但因模型缺乏描述元素之間的相互關(guān)系的手段，故很難提取有結(jié)構(gòu)論域中有關(guān)結(jié)構(gòu)所提供的信息。當(dāng)然結(jié)構(gòu)在一定意義下也可以看成是元素的某種屬性，但這種屬性是多元屬性(要用多元函數(shù)來表達(dá))，一般不能表示為f(x),而要用f(x,y,..)表示,如距離要用d(x,y)表示.

商空間理論著重點(diǎn)不同,它不是只針對給定的商空間(知識基)來討論知識的表達(dá)問題,而是在所有可能的商空間中,找出最合適的商空間,利用從不同商空間(從不同角度)觀察同一問題,以便得到對問題不同角度的理解,最終綜合成對問題總的理解(解).它的求解過程是在“由所有商空間組成的半序格”中運(yùn)動轉(zhuǎn)換的過程.故可看成是宏觀的粒度計(jì)算.而粗糙集理論是在給定的商空間中的運(yùn)動,故可看成是微觀的粒度計(jì)算.

詞計(jì)算理論與商空間理論、粗糙集理論稍為不同,它主要研究(從粒度計(jì)算的觀點(diǎn)來看它)如何描述由詞界定的不同粒度的對象,它更擅長描述由形容詞、副詞表達(dá)的不同粒度的概念,如非常好、很好、好、很不錯、還好,…等等.因?yàn)檫@些詞有程度不同的差別,故在一定意義下,詞計(jì)算理論也給出了描述元素之間的關(guān)系,但只限于由屬性的強(qiáng)弱程度不同所形成的關(guān)系.

從理論上說,將商空間理論、粗糙集理論看成是“精確”的粒度計(jì)算,那么都可在其模型上引入模糊的概念,得模糊的商空間理論,和模糊的粗糙集理論.

在[ZH2]中我們證明：模糊的等價關(guān)系,等價于在某個商空間上的歸一等腰距離。即,可將它化成有結(jié)構(gòu)的商空間。于是這三者都可統(tǒng)一地用多尺度的商空間理論來表示.如設(shè)商空間理論中原來的結(jié)構(gòu)是一距離d1(x,y),這個d1是元素在空間”位置”關(guān)系的描述,而由模糊概念引入的距離d2,可以看成是元素之間的屬性關(guān)系的描述.

屬性是對元素個體性質(zhì)的描述,而尺度是對元素之間關(guān)系的描述(當(dāng)然也可看成是多元屬性).

若屬性值是取值于一個良序集上時,多可用模糊集來描述.

將三者有機(jī)地結(jié)合起來，對發(fā)展粒度計(jì)算將有重大意義。

4.3.結(jié)構(gòu)的重要性

最后闡述在粒度計(jì)算中結(jié)構(gòu)的重要性，在問題求解時，人們多從一組前提出發(fā)，希望由它通過一系列的推導(dǎo)，得到結(jié)論。若將每個步驟用箭頭相連，則得到由前提到目標(biāo)的一條有向路?；蚋话?，問題求解可看成是在某有結(jié)構(gòu)的空間中，求一條由前提到目標(biāo)的有向路（或一條路徑），于是當(dāng)空間的結(jié)構(gòu)是拓?fù)淇臻g時，關(guān)于問題求解的解的存在性問題，就等價于在空間中回答“前提與目標(biāo)是否處在同一線連通成份中”。而求解問題，就是在有解情況下，求從前提到目標(biāo)的一條有向路徑。

利用商空間中粗空間對細(xì)空間的“保假性”，（即：若問題在粗空間中無解，則在比它細(xì)的空間一定也無解）通過合理的分層遞階，可大大降低問題求解的復(fù)雜性。

我們對常遇到的結(jié)構(gòu)如：半序結(jié)構(gòu)、距離結(jié)構(gòu)以及一般拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其對應(yīng)的商空間的構(gòu)成及不同商空間的綜合都給出有效的構(gòu)造性的算法。

對什么情況下分層遞可以降低計(jì)算復(fù)雜性，能降低多少等，我們在[Z1]中也進(jìn)行了詳細(xì)地論述。

在[ZH3]中還把統(tǒng)計(jì)推斷方法引入商空間模型,為多層信息綜合、不確定推理、定性推理等，建立數(shù)學(xué)模型和相應(yīng)算法,有效降低了計(jì)算復(fù)雜性。

有結(jié)構(gòu)的模型在實(shí)際問題求解中是經(jīng)常遇到的，如地理信息中其地理位置之間的關(guān)系就是一個距離結(jié)構(gòu)；在數(shù)據(jù)倉庫中各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系可用半序來描述，它也是一種結(jié)構(gòu)；又在路徑規(guī)劃中對象所處空間的位置關(guān)系，就是一種距離的結(jié)構(gòu)；在數(shù)據(jù)挖掘中的規(guī)則發(fā)現(xiàn)，所有的規(guī)則全體按其包含關(guān)系就構(gòu)成半序結(jié)構(gòu)等等。在這些有結(jié)構(gòu)的對象中進(jìn)行問題求解利用基于商空間理論的粒度計(jì)算將是很有效的。

商空間的方法與目前流行的“粗糙集”方法相同之處在于：都是利用等價類來描述“粒度”,都是用“粒度”來描述概念。但討論的著重點(diǎn)有所不同，我們的著重點(diǎn)是研究不同粒度世界之間的互相轉(zhuǎn)換、互相依存的關(guān)系，是描述空間關(guān)系學(xué)的理論；而目前的粒度計(jì)算(如粗糙集理論等)主要是研究粒度的表示、刻劃和粒度與概念之間的依存關(guān)系。更主要的不同在于：我們的理論是在論域元素之間存在有拓?fù)潢P(guān)系的情況下進(jìn)行研究的，即論域是一個拓?fù)淇臻g，而現(xiàn)在的粗糙集理論，其論域只是簡單的點(diǎn)集，元素之間沒有拓?fù)潢P(guān)系(只是商集理論，而不是商空間理論)，故它們討論的是無結(jié)構(gòu)的特殊情況。

另外，粗糙集是在給定的知識基上求解對應(yīng)的問題，如求集合的R-上近似和R-下近似，我們是在(X,T)中討論各商空間之間的關(guān)系，求相應(yīng)的（各種意義下）上近似空間和下近似空間。從這個角度看，可以說粗糙集是微觀的粒度計(jì)算，商空間理論是宏觀的粒度計(jì)算。這兩個理論都是建立在等價關(guān)系之上，所有可以將兩者結(jié)合起來。

Zadeh所討論的粒度計(jì)算與Pawlak和我們所討論的粒度問題又有些不同，他主要是討論粒度的表示問題，他們認(rèn)為人類是用語言進(jìn)行各種思考和推理的，不同的詞就表示不同的粒度，那么如何表示它們呢？一般來說用“語言”、“詞(word）”來表示的概念，牽涉到“詞計(jì)算”問題。而詞計(jì)算，現(xiàn)在最流行的方法是“模糊數(shù)學(xué)”的方法，于是他得出的結(jié)論是：模糊數(shù)學(xué)應(yīng)是粒度計(jì)算的主要工具之一。

依Zadeh的看法，Pawlak和我們討論的粒度是“清晰的粒度”，而他自己討論的是“模糊粒度”。

如何將模糊集的方法引入商空間理論中來，這可從幾方面著手進(jìn)行，一是在論域X上引入模糊集；二是在結(jié)構(gòu)T上引入模糊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；三是對我們的核心概念等價關(guān)系，引入模糊概念。

以上簡單介紹了商空間理論、詞計(jì)算理論、粗糙集等粒度計(jì)算方法之間的關(guān)系?？梢钥闯鲞@三個不同的粒度計(jì)算理論，從思考問題的出發(fā)點(diǎn)和解決問題的任務(wù)，都不盡相同，各有千秋。但是三者都有一個共同的特點(diǎn)，那就是都考慮到人類智能中，有從不同粒度思考問題的這一特點(diǎn)。如何將三者的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來，形成更強(qiáng)有力的粒度計(jì)算的方法和理論，是今后一個重要的研究課題。一個明顯可進(jìn)行的研究是：將商空間理論與粗糙集方法相結(jié)合，或說將粗糙集方法引入商空間理論中來，或說在商空間理論中同時討論微觀的粒度計(jì)算問題，將微觀和宏觀的粒度計(jì)算統(tǒng)一起來，構(gòu)成一個更加完整的粒度計(jì)算理論和方法，將會更有效的。

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